Proiect de lecție

Profesor: Costache Ioana Corina

Clasa: a 11  a  A

Disciplina: MATEMATICĂ

Unitate de invatare: recapitulare și sistematizare

Tema: Asimptotele unei funcții

Tipul lectiei: consolidare și sistematizare

COMPETENTE SPECIFICE

1. Caracterizarea unor funcţii utilizândreprez geom a unor cazuri particulare;

2. Interpretarea unor proprietăţi ale funcţiilor cu ajut reprezent grafice;

3. Aplicarea unor algoritmi specificicalculului diferenţial în rez unorprobl;

4. Exprimarea cu aj noţ de limită,a unor propr cantit şi calit ale unei funcţii;

5. Utilizarea reprezentării grafice a uneifuncţii pentru verificarea unor rezultate şipentru identificarea unor proprietăţi;

OBIECTIVE  OPERAŢIONALE: la finalul orei elevii vor fi capabili să:

 să defineasca asimptota verticala / oblica/ orizontala

 : să cunoască formulele pentru calculul elementelor m si n ale asimptotelor oblice

 : să aplice în practică formulele pentru calculul elementelor m si n ale asimptotelor oblice

O : să recunoasca diferitele tipuri de asimptote ale unei functii

     O :  sa determine diverse tipuri de asimptote

STRATEGII DIDACTICE:

Metode şi procedee : conversaţia, explicaţia, observaţia, expunerea, exerciţiul.,proiectul.                   

                  Mijloace şi materiale didactice: manual, culegeri, fişă de lucru, tabla, creta

                  Forme de organizare: individuala, pe echipe

                  Moduri de activitate cu elevi: Consolidarea teoriei prin practică

Surse bibliografice:

 Marius si Georgeta Burtea – Matematică manual pentru clasa a XI-a trunchi comun și diferențiat , Ed.Carminis2005.

Marius Burtea, Culegere Matematioca M2 clasa a XI-a, Editura Campion, Bucuresti, 2009

SubiectesimulareBAC

DESFĂŞURAREA  LECŢIEI

Etapele lecţiei	Obiectivele vizate	Conţinutul lecţiei		Strategiile didactice
				Metode şi procedee	Forme de activitate
		Activitatea profesorului	Activitatea elevului
1	2	3	4	5	6
Moment organizatoric 1’		-notează absentele Elevii pregătesc manualele, caietele de notiţe, caietele de teme, instrumentele de scris.
Captarea atentiei: Anuntarea titlului lectiei 1’		-notează titlul lectie pe tabla -anunţă obiectivele pe care si-a propus sa le atingă	-elevii noteză titlul lecţie in caiete
Actualizarea cunoştinţelor 15’	O1   O2	Recapitularea tipurilor de asimptote: Definiții, tipuri de asimptote, metode de determinare  a fiecărui tip studiteIdentificarea /recunoașterea asimptotelor pe graficul unei funcții Ce intelegem prin asimtota a unei functii?   Ce este o asimptota veriticala?   Observatie. Dreapta x=a este o dreapta paralela cu Oy, deci verticala. Ce functii admit asiptote verticale?   Observatii. Pentru existenta asimptotei verticale nu este necesar ca functia sa fie definita in a.Admit asimptote verticale:functiile ale caror legi de corespondenta sunt exprimate prin fractii, în punctele în care se anuleaza numitorulfunctiile ale caror legi de corespondenta sunt exprimate prin logaritmi, , în punctele pentru care g(x)=0   Se rezolva exercitiul2(b) de pe fisa de lucru.   Definitie. Fie functia , astfel incat  este punct de acumulare al lui I. Spunem ca dreapta y=b este asimptota orizontala a lui f spre  daca , respectiv . Observatii. Dreapta y=b este paralela cu axa Ox. Nu are sens sa cautam asimptote orizontale spre  daca functia nu este definita spre   . Se rezolva exercitiul 2 (b)de pe fisa de lucru.   Observatii. 1) Pentru determinarea asimptotei oblice se procedeaza astfel: se calculeaza ;daca m este finit, atunci se calculeaza  ;daca si n este finit atunci dreapta   reprezinta asimptota oblica alui f spre   Observatie :O functie nu poate admite atat asimptota orizontala cat si oblica spre ( ). Se rezolva exercitiul 3 de pe fișă.	asimptota este  o dreapta fata de care graficul unei functii „se apropie oricat de mult       Fie  punct de acumulare. Definitie.   dreapta x = x0 este asimptotă verticală la graficul funcţiei f(x), dacă cel puţin una din limitele laterale ale funcţiei f în punctul x0 este infinită.            .                       Elevii identifică asimptotele pe grafic/ fisa de lucru	conversatia	frontala
Consolidarea și sistematizarea  cunostintelor 35’	O1 O2 O3 O4	Elevii primesc Fisa de lucru   Elevii din fiecare grupa rezolva exercitiile de pe fisa primita. Apoi seful echipei iese la tabla pentru a prezenta rezolvarea.	Rezolva exercitiile, comparând propriile rezultate cu cele de pe tablă.   -Elevii vor nota in caiete  rezolvarile propuse si se va rezolva si la tabla cateva din aplicati	Conversatia     Exercitiul	Frontala
Feed-back 2’		Care sunt etapele in a determina asimptotele unei functii? Cand o graficul unei funcții admite asimptote verticale? Dar orizontale/ oblice?	Elevii sunt atenţi şi răspund la întrebările profesorului	Exercitiul	Individual
Evaluarea 1’		Aprecierea raspunsurilor primite Tema acasa- restul exercițiilor de pe fisă	Notează tema	frontală

Anexa 1.

JOCUL LIMITELOR

NIVELUL 1

1. PREA CALD!

Temperatura unui computer nu poate depăși 70 °C. Pentru ca acesta să nu se deterioreze datorită supraîncălzirii, cel mai adesea pornește un ventilator care face ca asemenea probleme să nu se întâmple, răcind componentele calculatorului. Atunci când pornește ventilatorul temperatura se schimbă conform următoarei legi:                                                         T = 40 ^. (1/2)^t + 30

T = temperatura în grade Celsius, t = timpul în minute

Către ce valoare tinde temperatura internă?

• CREȘTEREA POPULAȚIEI

Următoarea funcție:

                                                       300t² + 120t +420

                                             f(t) = ^{______________________}

                                                      10t² + 5t + 20

stabilește numărul (în mii de locuitori) ai unui oraș după t ani din acest moment.

1. Câți locuitori locuiesc în oraș în acest moment?
2. Câți locuitori vor locui în oraș peste un an?
3. Câți locuitori vor fi după un timp îndelungat? (adică poate nr. acestora să crească fără limite?)

• LEGEA VERHULST

În Argentina unii oameni de știință fac recensământul populației de pinguini anual pentru a o menține sub control. În primul an au fost 2000 de pinguini. Apoi oamenii de știință au arătat că tendința urmează legea Verhulst:

                                                      5000

                                          P_n = ^{_____________________}

                                                         1+ 4e^-n/5

P_n = numărul de pinguini în anul n

1. De cât timp e nevoie pentru ca populația să se dubleze?
2. Care este limita lui p_n când n tine la plus infinit?

NIVELUL 2

1. TEMPERARE” SAU „CĂLIRE PRIN RĂCIRE BRUSCĂ”

Este un tratament termic aplicat metalelor, constând din trei faze: încălzire, stabilizare, răcire. Vitezele diferite de încălzire și răcire și durata de stabilizare conferă caracteristici diferite materialului.

Următoarea funcție oferă un model al temperării de care este nevoie pentru a se obține piulițe din oțel:

                 74t + 20              dacă 0 ≤ t < 20

T(t) =        1500                  dacă 20 ≤ t ≤ 30

                 -38t + 1535.        dacă 30 < t ≤ 40

                  unde T = temperatura în grade Celsius, t = timpul

1. Este o funcție continuă? Dacă nu, identificați discontinuitatea și clasificați-o
2. Determinați durata fiecărei faze
3. Determinați temperatura de stabilizare și saltul de temperatură la începutul răcirii

2) TRAIUL DE UNUL SINGUR

1970	10,9
1980	18,3
1985	20,6
1990	23,0
1995	24,7
2000	26,7

Aceste date preluate de la un recensământ se referă la nr. de oameni (exprimat în milioane) care locuiesc singuri în Statele Unite. Următoarea funcție oferă un bun model de interpretare a datelor:

f(x) = 2,6 .√x + 11

x = nr. ani începând din 1970; f(x) = număr de oameni care locuiesc singuri exprimat în milioane

Când va ajunge nr. de americani care locuiesc singuri la 35.000.000 (scrieți anul care aproximează cel mai bine rezultatul vostru)

3) CONCENTRAȚIA DE MEDICAMENT ÎN SÂNGE

Concentrația unui medicament în sânge (în mg/L) după t ore (începând din momentul administrării) este:

                                    c(t) = 120 (e^-0,2t – e^-0,4t)

De ce știm sigur că atât în primele cinci ore cât și în intervalul dintre a 5-a și a 10-a oră există un timp t când concentrația de medicament în sânge este de 20 mg/L?

NIVELUL 3

1. DE LA CONCURSURILE DE MATEMATICĂ, UNIVERSITATEA GEORGIA

TURNEUL DE MATEMATICĂ DIN 2013

Se dă:

                                                           f(x+1)   dacă x ≤ 0

            f(x) = x² – x + a : g(x) =       f(x-1)   dacă x > 0

Pentru întreaga valoare a lui a funcția y = [g(x)]² este continuum în x = 0?

• DEGRADARE RADIOACTIVĂ

Un material radioactiv pierde 15% din masa sa într-un an. Identificăm M₀ ca masa inițială a materialului, cu M₁ masa pierdută în primul an, M₂ este masa pierdută în al doilea an și M_n este masa pierdută în anul n; de asemenea, identificăm P_n pierderea totală de masă a materialului în n ani.

1. Scrieți funcția analitică pt M_{n ș}și P_n
2. Calculați limita acestora când n tinde la plus infinit

• O companie producătoare de apă minerală depozitează CO₂ într-un utilaj în care volumul și presiunea CO₂ respectă următoarea lege:

P(V) = 1/V-1 – 2/V²

V= volum

P = presiune

Puteți ignora unitățile de măsură

1. Identificați și clasificați punctele de discontinuitate;
2. Identificați asimptotele
3. Schițați graficul funcției și prin intermediul acesteia, identificați valorile lui V pentru care acest model trasează comportamentul real